e^{4x+1}= 2e^{x}
Hello, Scoplex!
$\displaystyle \text{Solve for }x\!:\;\;e^{4x+1} \:=\: 2e^x$
Take logs: .$\displaystyle \ln\left(e^{4x+1}\right) \:=\:\ln(2e^x)$
. . . . . . $\displaystyle (4x+1)\ln(e) \:=\:\ln(2) + \ln\left(e^x\right)$
. . . . . . $\displaystyle (4x+1)\ln(e) \:=\:\ln(2) + x\ln(e)$ . . . Note that $\displaystyle \ln(e) = 1$
n . . . . . . . . . $\displaystyle 4x + 1 \:=\:\ln(2) + x$
n . . . . . . . . . $\displaystyle 3x + 1 \:=\:\ln(2)$
. . . . . . . . . . . . . $\displaystyle 3x \:=\:\ln(2) - 1$
. . . . . . . . . . . . . .$\displaystyle x \:=\:\dfrac{\ln(2) - 1}{3}$