• Nov 30th 2010, 12:14 PM
thamathkid1729
Construct a convex quadrilateral and then a quadrilateral similar to it whose area is three-fourths of the area of the original quadrilateral.
• Dec 1st 2010, 06:04 AM
Soroban
Hello, thamathkid1729!

I already solved this at another site . . .

• Dec 1st 2010, 02:44 PM
Soroban
Hello, everyone!

This is the long and clunky solution I posted elsewhere . . .

Quote:

whose area is three-fourths of the area of the original quadrilateral.

Suppose the original quadrilateral has sides $\displaystyle a,b,c,d.$
The smaller quadratilateral has sides multiplied by a factor of $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}.$

Construct an equilateral triangle with side 1.
Contruct an altitude; its length is $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$
(I'll leave the proof to you.)

On a line, mark off points $\displaystyle A,\,B,\,C,\,\text{ where }AB \,=\,1,\:BC \,=\,\frac{\sqrt{3}}{2}$

Code:

      o-----o----o       A    B    C

From $\displaystyle \,A$, draw a line to the upper-right.

Code:

                            *                           *                         *                       *                     *                   *                 *               *             *           *         *       o-----o----o       A    B    C

On that line, mark off $\displaystyle AP \,=\,a$

Code:

                            *                           *                         *                       *                 P  *                   o                 *           a  *             *           *         *       o-----o----o       A    B    C

Draw line segment $\displaystyle BP.$

Code:

                            *                           *                         *                       *                 P  *                   o                 */           a  * /             *  /           *  /         *    /       o-----o----o       A    B    C

From $\displaystyle \,C$ construct $\displaystyle CQ\,\parallel\, BP$

Code:

                            o Q                           */                         * /                       *  /                 P  *  /                   o    /             a  */    /               * /    /             *  /    /           *  /    /         *    /    /       o-----o----o       A    B    C

Then: $\displaystyle PQ \:=\:\frac{\sqrt{3}}{2}\,a \:=\:a'$

Repeat the process with side $\displaystyle \,b$ and find $\displaystyle b'.$

With that information, you can complete the construction.

Code:

                    a               * * * * * * *             *  a'    *    *             *          *    *           * b'        d' *    * d       b  *                *    *         *          c'        *    *         * * * * * * * * * * * * *    *       *                                *       * * * * * * * * * * * * * * * * * * *                         c

Note that: .$\displaystyle c'\parallel c\,\text{ and }\,d'\parallel d.$