# Thread: Two-holed torus using an octagon

1. ## Two-holed torus using an octagon

Show that the images of a 4g-gone maps the hyperbolic plane using a group action then show that the quotient of the hyperbolic plane by the group action gives a Riemann surface of gender g (do this for g=2).

I need help for the second part. I already found that an octagon could maps the hyperbolic plane using linear fractionnal transformations, but can someone give me a start for the second part. (In fact, I must show that, using an octagon, I can get a two-holed torus).

Thanks,
Fractalus.

2. Hello Fractalus and welcome!

I'm not sure what your question is. You have an $\displaystyle 4g$-gon in the hyperbolic plane, and you want to tile the hyperbolic plane with images of it under some group of $\displaystyle \mbox{PSL}(2, \mathbb{R})$ transformations? So that your $\displaystyle 4g$-gon becomes a fundamental region for the action of the group?

If I understand correctly, you then want to show that the quotient of the hyperbolic plane by the action of the group in question results in a Riemann surface of genus $\displaystyle g$ (and not gender $\displaystyle g$ ). Isn't this just a matter of identifying the sides of the fundamental region in an appropriate fashion?

Si le Français est mieux pour toi, tu peux t'exprimer en Français.

3. ## essai d'explication

If I understand correctly, you then want to show that the quotient of the hyperbolic plane by the action of the group in question results in a Riemann surface of genus $\displaystyle g$ (and not gender $\displaystyle g$ ). Isn't this just a matter of identifying the sides of the fundamental region in an appropriate fashion?

Oui, merci Bruno. Cependant, comment est-ce que je peux être certain qu'en identifiant les côtés de mon domaine fondamental j'ai un double-tore?

Oui je peux les coller et "voir" que ça donne un double tore. Mais mathématiquement qu'est-ce qui m'indique que s'en est un? Je ne peux pas utiliser la signature du groupe Fuchsien pour le savoir parce que pour ça il faut déjà que je sâche que g=2. Est-ce qu'il y a un moyen d'utiliser la caractéristique d'Euler sur le domaine fondamental pour dire que c'est un double tore?

Par exemple, comme j'ai un octogone et qu'aucun côté n'est pairé avec lui-même, je peux dire que:

E= 4 car on a 8 côtés collés en paire donc 8/2 = 4.
F= 1 face parce que évidemment c'est un tore, c'est lisse (je ne dit pas lisse au sens mathématique, mais seulement visuel).
V= 1 sommet, parce que tous les v1,...,v8 sont en fait le même v.

La caractéristique d'Euler donne donc:
chi (X) = V - E + F = 1 - 4 + 1 = -2 = 2 - 2(2) = 2 - 2g.

Est-ce que c'est une bonne explication? Est-ce qu'il y a d'autres facons d'expliquer?

4. Originally Posted by Fractalus
If I understand correctly, you then want to show that the quotient of the hyperbolic plane by the action of the group in question results in a Riemann surface of genus $\displaystyle g$ (and not gender $\displaystyle g$ ). Isn't this just a matter of identifying the sides of the fundamental region in an appropriate fashion?

Oui, merci Bruno. Cependant, comment est-ce que je peux être certain qu'en identifiant les côtés de mon domaine fondamental j'ai un double-tore?

Oui je peux les coller et "voir" que ça donne un double tore. Mais mathématiquement qu'est-ce qui m'indique que s'en est un? Je ne peux pas utiliser la signature du groupe Fuchsien pour le savoir parce que pour ça il faut déjà que je sâche que g=2. Est-ce qu'il y a un moyen d'utiliser la caractéristique d'Euler sur le domaine fondamental pour dire que c'est un double tore?

Par exemple, comme j'ai un octogone et qu'aucun côté n'est pairé avec lui-même, je peux dire que:

E= 4 car on a 8 côtés collés en paire donc 8/2 = 4.
F= 1 face parce que évidemment c'est un tore, c'est lisse (je ne dit pas lisse au sens mathématique, mais seulement visuel).
V= 1 sommet, parce que tous les v1,...,v8 sont en fait le même v.

La caractéristique d'Euler donne donc:
chi (X) = V - E + F = 1 - 4 + 1 = -2 = 2 - 2(2) = 2 - 2g.

Est-ce que c'est une bonne explication? Est-ce qu'il y a d'autres facons d'expliquer?
À mon avis, c'est une bonne explication. Tout dépend du niveau de formalité que tu veux atteindre!

Je ne suis pas un expert, mais voici une suggestion. Si tu connais le groupe Fuchsien $\displaystyle F$ en question (je serais intéressé de le connaître, ainsi que le domaine fondamental $\displaystyle D_F$ que tu lui as trouvé!), tu peux peut-être essayer de trouver un autre groupe Fuchsien $\displaystyle G$ avec $\displaystyle F \triangleleft G$. Le domaine fondamental $\displaystyle D_G$ de $\displaystyle G$ peut alors être vu comme un quotient de $\displaystyle D_F$ par l'action de $\displaystyle G$; par un choix judicieux, tu peux peut-être obtenir, pour $\displaystyle D_G$, une surface homéomorphe à la sphère. L'application quotient $\displaystyle D_F \to D_G$ se réalise donc comme revêtement de la sphère, et il devrait alors être possible d'utiliser la formule de Riemann-Hurwiz pour calculer le genre de $\displaystyle D_F$.

À prendre avec un grain de sel! Laisse-moi savoir ce qu'il advient de ton problème.

Es-tu du Québec?