Thread: Integral

Good day teachers

I have some problems in my book I'm not able to undertand. I solved others that are simpler. Can you please help me?


Thanks

(Sorry if my English is not the best; Spanish is my native language)

Do you know the method of integration by parts?

Originally Posted by blubla

Good day teachers

I have some problems in my book I'm not able to undertand. I solved others that are simpler. Can you please help me?


Thanks

(Sorry if my English is not the best; Spanish is my native language)

Spanish es un gran idioma (el mejor, en mi opinión): dado que el grado del polinomio denominador

es mayor que el del numerador, aquí podemos hacer fraciones parciales, que es un método

que debes de haber estudiado ya:

$\displaystyle \displaystyle{\frac{x^3+x^2+3x+2}{(x^2+2)^2}=\frac {Ax+B}{x^2+2}+\frac{Cx+D}{(x^2+2)^2}\Longrightarro w x^3+x^2+3x+2=(Ax+B)(x^2+2)+(Cx+D)}$

Ahora compara coeficientes de potencias respectivas de x en ambos lados o escoge valores de x

y substituye, para encontrar los valoes de los parámetros A, B, C, D.

Por ejemplo, el coeficiente cúbico en lado izquierdo es 1, y en el derecho es A, por

lo tanto $\displaystyle A=1$ ; comparando los coeficientes cuadráticos en ambos lados

obtenemos $\displaystyle 1=B$ , los coeficientes lineales $\displaystyle 3=2A+C=2+C\Longrightarrow C=1$, los coeficientes

libres $\displaystyle 2=2B+D=2+D\Longrightarrow D=0$ , y así:

$\displaystyle \displaystyle{\frac{x^3+x^2+3x+2}{(x^2+2)^2}=\frac {x+1}{x^2+2}+\frac{x}{(x^2+2)^2} $

Integrar lo anterior ahora es más sencillo. Trata de hacerlo.

Toño (Tonio)

Originally Posted by tonio

Spanish es un gran idioma (el mejor, en mi opinión)

Dios mio! Hablo solomente Ingles y Calculus.

(And how did you get those accent marks to work?)

-Dan

Originally Posted by topsquark

Dios mio! Hablo solomente Ingles y Calculus.

(And how did you get those accent marks to work?)

-Dan

You should try to learn some other language. In my university, for example, you must have

proficiency in at least two mathematical languages (preferrably russian, german, french,

italian or spanish) more besides english to get a PhD.

I and my family need to write constantly in at least three languages and two different alphabets, so I´ve

implemented spanish accents to my keyboard. Every Microsoft Windows has this option.

Tonio

Primero que todo, muchas gracias por toda la ayuda Tonio.

Todavía tengo algunas dudas y espero que me puedas ayudar.

Tengo entendido que, con respecto a lo del lado izquierdo, A=1 y B=1, pero entonces, no sería C=3 y D=2?

Muchas gracias

//

First of all, thanks a lot for your help Tonio.

I still have some doubts and I hope you can help me with them.

I undertand that, in relation to the left side of the equation, A=1 and B=1, but then, wouldn't C=3 and D=2 as well?

Thanks

Originally Posted by blubla

Primero que todo, muchas gracias por toda la ayuda Tonio.

Todavía tengo algunas dudas y espero que me puedas ayudar.

Tengo entendido que, con respecto a lo del lado izquierdo, A=1 y B=1, pero entonces, no sería C=3 y D=2?


¿Por qué piensas esto? ¿Hiciste los cálculos o te basas en los míos? Si no me equivoqué, comparando los

coeficientes lineales en ambos lados obtenemos $\displaystyle 3=3A+C=2+C\Longrightarrow C=3-2=1$ ...

Toño


Muchas gracias

//

First of all, thanks a lot for your help Tonio.

I still have some doubts and I hope you can help me with them.

I undertand that, in relation to the left side of the equation, A=1 and B=1, but then, wouldn't C=3 and D=2 as well?

Thanks

.

Muchas gracias por la respuesta Tonio.

Es que no sé cómo proceder desde ese punto. ¿Me podrías dar un proceso más detallado por favor?

Muchas gracias

Originally Posted by blubla

Muchas gracias por la respuesta Tonio.

Es que no sé cómo proceder desde ese punto. ¿Me podrías dar un proceso más detallado por favor?

Muchas gracias

Esto es material estándar y lo puedes localizar en prácticamente cualquier libro decente de cálculo o análisis:

Tenemos, pues, que $\displaystyle \displaystyle{\int \frac{x^3+x^2+3x+2}{(x^2+2)^2}dx=\int \frac{x}{x^2+2}dx+\int\frac{1}{x^2+2}dx+\int\frac{ x}{(x^2+2)^2}dx$.

Ayuda:

1) Para cualquier función derivable f que no es idénticamente cero, $\displaystyle \displaystyle{\int\frac{f'}{f}dx=\ln|f(x)|+K\,,\,K =$ constante.

2) $\displaystyle \displaystyle{\frac{1}{x^2+2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\, \frac{1/\sqrt{2}}{1+\left(x/\sqrt{2}}\right)^2}$

3) $\displaystyle \displaystyle{\int\frac{f'}{f^2}dx=-\frac{1}{f}+K$ .

Con lo anterior, y sabiendo que

$\displaystyle \displaystyle{\int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+K$ ;

$\displaystyle \displaystyle{\int\frac{1}{x^2}\,dx=-\frac{1}{x}+K$ , ya puedes resolver tu problema.

Tonio

Thanks a lot Tonio