# Maclaurin expansion

• June 8th 2010, 05:54 PM
Hibachi
Maclaurin expansion
A question says use Maclaurin's theorem to expand $\cos^2{x}$ upto the term containing $x^6$. Hence or otherwise, express $x+\sin^2{x}$ as a power series upto a term containing $x^6$.

$f(x) = f(0)+f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3+ \cdots+\dfrac{f^{(r)}(0)}{r!}x^r$

$f(x) = \cos^2{x} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f(0) = 1$
$f'(x) = -\sin{2x} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f'(0) = 0$
$f''(x) = -2\cos{2x} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f''(0) = -2$
$f'''(x) = 4\sin{2x} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f'''(0) = 0$
$f''''(x) = 8\cos{2x} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f''''(0) = 8$
$f'''''(x) = -16\sin{2x} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f'''''(0) = 0$
$f''''''(x) = -32\cos{2x} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f''''''(0) = -32$

$\therefore \;\;\; \cos^2{x} = 1-\dfrac{2}{2!}x^2+\dfrac{8}{4!}x^4-\dfrac{32}{6!}x^6+\cdots$

Since $\sin^2{x} = 1-\cos^2{x},$
$\sin^2{x} = 1-\left(1-\dfrac{2}{2!}x^2+\dfrac{8}{4!}x^4-\dfrac{32}{6!}x^6+\cdots\right)$ $= 1-1+\dfrac{2}{2!}x^2-\dfrac{8}{4!}x^4+\dfrac{32}{6!}x^6-\cdots = \dfrac{2}{2!}x^2-\dfrac{8}{4!}x^4+\dfrac{32}{6!}x^6-\cdots$

And therefore $x+\sin^2{x} = x+\dfrac{2}{2!}x^2-\dfrac{8}{4!}x^4+\dfrac{32}{6!}x^6-\cdots$

Could someone confirm please, if this is right?
• June 8th 2010, 06:31 PM
Drexel28
Quote:

Originally Posted by Hibachi
A question says use Maclaurin's theorem to expand $\cos^2{x}$ upto the term containing $x^6$. Hence or otherwise, express $x+\sin^2{x}$ as a power series upto a term containing $x^6$.

$f(x) = f(0)+f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3+ \cdots+\dfrac{f^{(r)}(0)}{r!}x^r$

$f(x) = \cos^2{x} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f(0) = 1$
$f'(x) = -\sin{2x} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f'(0) = 0$
$f''(x) = -2\cos{2x} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f''(0) = -2$
$f'''(x) = 4\sin{2x} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f'''(0) = 0$
$f''''(x) = 8\cos{2x} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f''''(0) = 8$
$f'''''(x) = -16\sin{2x} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f'''''(0) = 0$
$f''''''(x) = -32\cos{2x} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f''''''(0) = -32$

$\therefore \;\;\; \cos^2{x} = 1-\dfrac{2}{2!}x^2+\dfrac{8}{4!}x^4-\dfrac{32}{6!}x^6+\cdots$

Since $\sin^2{x} = 1-\cos^2{x},$
$\sin^2{x} = 1-\left(1-\dfrac{2}{2!}x^2+\dfrac{8}{4!}x^4-\dfrac{32}{6!}x^6+\cdots\right)$ $= 1-1+\dfrac{2}{2!}x^2-\dfrac{8}{4!}x^4+\dfrac{32}{6!}x^6-\cdots = \dfrac{2}{2!}x^2-\dfrac{8}{4!}x^4+\dfrac{32}{6!}x^6-\cdots$

And therefore $x+\sin^2{x} = x+\dfrac{2}{2!}x^2-\dfrac{8}{4!}x^4+\dfrac{32}{6!}x^6-\cdots$

Could someone confirm please, if this is right?

remember this site.
• June 8th 2010, 06:40 PM
Hibachi
Quote:

Originally Posted by Drexel28

Marvelous. I didn't about that site otherwise I would have just taken the answers from there and took them to the teacher without bothering to work them out. (Joking, of course).