# Complex analytic functions

• Mar 25th 2010, 03:50 AM
asi123
Complex analytic functions
Hey guys.
I hope this is the right place to post this question.

http://img641.imageshack.us/img641/70/97822806.jpg

I have this "simple" complex function, and I need to decide where this function is analytic in the complex domain.
So, I used the cauchy riemann equations as you can see, and I got to the condition x=y in order for this function to have a derivation. I know that this function is not analytic anywhere on the complex domain.
Now, according to the solution we got, this function has derivation only in (0,0), is this true, shouldn't it be on all x=y?

Thanks a lot.
• Mar 25th 2010, 04:20 AM
tonio
Quote:

Originally Posted by asi123
Hey guys.
I hope this is the right place to post this question.

http://img641.imageshack.us/img641/70/97822806.jpg

I have this "simple" complex function, and I need to decide where this function is analytic in the complex domain.
So, I used the cauchy riemann equations as you can see, and I got to the condition x=y in order for this function to have a derivation. I know that this function is not analytic anywhere on the complex domain.
Now, according to the solution we got, this function has derivation only in (0,0), is this true, shouldn't it be on all x=y?

Thanks a lot.

אם אתה בודק את משוואות קושי-רימן זה ברור שהמקום היחיד הן מתקייתות זה בראשית, אך הגדרה אנליטיות דורשת שהן יתקיימו באיזה שהוא תחום (קבוצה פתוחה) במישור המרוכב...ז"א, הפונקציה איננה אנליטית באף תחום

If you check the Cauchy-Riemann equations then it's clear that the only place they're fulfilled is the origin, whereas the definition of analiticity requires that they exist in a domain (open subset of the complex plane), thus the function isn't analytic in any domain.

Tonio
• Mar 25th 2010, 04:24 AM
asi123
Quote:

Originally Posted by tonio
אם אתה בודק את משוואות קושי-רימן זה ברור שהמקום היחיד הן מתקייתות זה בראשית, אך הגדרה אנליטיות דורשת שהן יתקיימו באיזה שהוא תחום (קבוצה פתוחה) במישור המרוכב...ז"א, הפונקציה איננה אנליטית באף תחום

If you check the Cauchy-Riemann equations then it's clear that the only place they're fulfilled is the origin, whereas the definition of analiticity requires that they exist in a domain (open subset of the complex plane), thus the function isn't analytic in any domain.

Tonio

אז זה מה שלא הבנתי, לפי משוואות קושי ריימן, המשוואות נכונות עבור
x=-y
או שאני מפספס משהו?

תודה.
• Mar 25th 2010, 04:49 AM
tonio
Quote:

Originally Posted by asi123
אז זה מה שלא הבנתי, לפי משוואות קושי ריימן, המשוואות נכונות עבור
x=-y
או שאני מפספס משהו?

תודה.

נדמה לי שאתה מפספס משהו: צריך להיות

\$\displaystyle u_x=v_y\,,\,\,u_y=-v_x\$

במקרה שלנו מקבלים

\$\displaystyle u=x^2\,,\,v=y^2\Longrightarrow u_x=2x,\,v_y=2y\,,\,\,u_y=-v_x=0\Longrightarrow u_x=v_y\Longleftrightarrow x=y\$

אבל אז מקבלים

\$\displaystyle f(x,y)=x^2+ix^2\Longrightarrow u_x=2x=v_{y=x}\,,\,\,u_{y=x}=2x\,,\, -v_x=-2x\Longrightarrow\$ \$\displaystyle u_y=-v_x\Longleftrightarrow x=y=0\$

Tonio